命題論理と真理値表とは？

命題論理と真理値表の意味

「真」か「偽」のいずれかに定まる文（命題）を対象に、論理演算の組み合わせでできる複合命題の真偽を、すべての入力パターンについて一覧表にしたものが真理値表。論理式の等価性の確認や、論理回路の動作検証に使われる。

命題論理と真理値表の具体例

「A→B」（AならばB）という命題は、Aが偽のときは常に真になるという直感に反する性質があり、真理値表を書いて確認すると理解しやすい。

命題論理と真理値表は試験でどう引っ掛けられる？

「AならばB」はAが偽ならBの真偽に関わらず真になる。この行の見落としが定番の誤り。逆・裏・対偶のうち元の命題と必ず真偽が一致するのは対偶だけ。入力がn個なら真理値表の行数は2のn乗になる。

命題論理と真理値表と関連する用語

• ブール代数と論理式の簡略化

命題論理と真理値表が出た過去問

• 任意のオペランドに対するブール演算Aの結果とブール演算Bの結果が互いに否定の関係にあるとき，AはBの（又は，BはAの）相補演算であるという。排他的論理和の相補演…

  正解：ア：等価演算（ベン図：2円の重なり部分と，2円の外側が灰色。各円の重ならない部分は白＝XNOR）

  要点：排他的論理和の否定は等価演算（XNOR）である。

  排他的論理和（XOR）は2入力が異なるとき真になる演算で、その否定（相補演算）は2入力が一致するとき真になる演算、すなわち等価演算（XNOR）である。ベン図では、2つの円の重なり部分と、どちらの円にも属さない外側の領域の両方が塗られる形になる。真理値表で全4通りの入力についてXORの出力を反転させると、等価演算の出力と一致する。

  出典：平成30年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問1（IPA）

• 図の論理回路と等価な回路はどれか。

  正解：ウ：入力A・BのXOR素子（二重曲線の入力側を持つOR形状）で出力Y

  要点：NAND4個の定番回路は排他的論理和と等価になる

  図はNANDゲート4個から成る典型的な回路で、真理値表を書くとA・Bが異なるときだけ出力が1になる。すなわち排他的論理和（XOR）と等価である。NANDは万能ゲートであり、この組合せでAND・OR・NOT・XORのいずれも構成できる。

  出典：平成30年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問21（IPA）

• 次の表に示す値が格納されたLUT（Lookup Table）と等価な回路はどれか。ここで、LUTのアドレス信号A2〜A0はA0がLSBで、ア〜エの回路の入力信号…

  正解：a, bをAND素子に入力し、その出力とcをXOR素子（排他的論理和）に入力して出力する回路

  要点：LUTの真理値表を論理式に直して等価な回路を見分ける

  表の値をa（A2）b（A1）c（A0）の組合せで読むと、出力が1になるのはcが1でaかbの少なくとも一方が0のとき、およびa＝b＝1でc＝0のときである。これは（a AND b）と c の排他的論理和と一致する。8通りすべてで表の値と一致することが確かめられる。

  出典：令和2年度 10月 応用情報技術者試験 午前 問23（IPA）

• 1桁の2進数A, Bを加算し、Xに桁上がり、Yに桁上げなしの和（和の1桁目）が得られる論理回路はどれか。

  正解：AとBをAND素子に入力してX、AとBをXOR素子に入力してYを得る回路

  要点：半加算器は桁上げがAND、和がXORで構成される

  1桁の2進数どうしの加算は半加算器で実現でき、桁上げ（キャリー）はAとBの論理積、桁上げなしの和は排他的論理和で得られる。A＝B＝1のときだけ桁上げが1になり、AとBが異なるときだけ和が1になることを真理値表で確かめられる。したがってXにAND、YにXORを割り当てた回路が正解となる。

  出典：令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問22（IPA）

• 真理値表に示す3入力多数決回路はどれか。

  正解：回路ア：AND(A,B)、AND(B,C)、AND(A,C)の3つのAND出力を2段のOR素子（(AB+BC)+AC）で合成しYを出力する回路

  要点：3入力多数決回路の論理式はAB+BC+CA

  3入力多数決回路は、3入力のうち2つ以上が1のときに1を出力する回路で、論理式はY=AB+BC+CAと表せる。2入力ANDで各ペアの一致を検出し、それらをORでまとめれば、いずれか1組でも両方1なら出力が1になる。真理値表の1となる4通りがすべてこの式で成立することを確認できる。

  出典：令和5年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問23（IPA）