補集合とは？

補集合の意味

あらかじめ考える対象の範囲全体（全体集合）を決めたうえで、その中からある集合に含まれる要素を除いた、残りすべての要素からなる集合のこと。つまり「全体集合のうち、ある条件に当てはまらないものすべて」を表す考え方であり、否定（NOT）の考え方と密接に結びついている。特定の条件に「当てはまらないデータ」を効率よく求めたい場合など、データベースの検索条件や統計的な分析の場面で活用される。

補集合の具体例

「全会員」を全体集合としたとき、「有料会員」の集合の補集合は「有料会員ではない会員（無料会員）」の集合となる。

補集合は試験でどう引っ掛けられる？

補集合を求めるには全体集合の範囲をあらかじめ明確に定義しておく必要があり、全体集合を何にするかによって補集合の中身は変わる点に注意。

補集合と関連する用語

• 和集合・積集合・差集合
• 部分集合

補集合が出た過去問

• 全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はS…

  正解：A(バー)-B

  要点：補集合の積はド・モルガンで和集合の補集合になる

  ド・モルガンの法則より、Aの補集合とBの補集合の積集合は、A∪Bの補集合、すなわちS-(A∪B)と等しくなります。一方、差集合A-BはA∩B(バー)と書き換えられるので、Ā-B は Ā∩B̄ そのものです。ベン図で「AにもBにも属さない領域」を塗ると確認できます。

  出典：令和1年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）

• 全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はS…

  正解：A(バー)－B

  要点：ド・モルガンの法則で補集合の積は和集合の補集合になる

  ド・モルガンの法則より、AバーとBバーの積集合は和集合A∪Bの補集合、つまりSからA∪Bを除いた領域である。これはSからAを除いた集合（＝Aバー）からさらにBを取り除いたものに一致する。したがってAバー－Bが等しい。

  出典：令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）