極限（関数の極限）とは？

極限（関数の極限）の意味

変数をある値や無限大へ近づけたときに、式の値が近づいていく先。有理式（分数の形の式）で変数を無限大へ飛ばす場合は、分子と分母の次数の大小だけで結果が決まる。分母の次数が大きければ0に収束し、分子の次数が大きければ発散し、次数が等しければ最高次の係数の比に収束する。計算では、分母分子を最高次の項で割ってから各項を0に飛ばすと確実である。アルゴリズムの計算量を比べる考え方（オーダ記法）も、同じ「次数の大小で決まる」という見方に基づく。

極限（関数の極限）の具体例

f(t)＝a/(t＋1)、g(t)＝b/(t²－t) のとき、g(t)/f(t)＝b(t＋1)/{a(t²－t)} となる。分子は1次、分母は2次なので極限は0になる。実際に分母分子をt²で割ると、分子はb/t＋b/t²→0、分母はa－a/t→a となり、0÷a＝0と確かめられる。

極限（関数の極限）は試験でどう引っ掛けられる？

定数aやbが答えに残ると思い込んで b/a を選ぶ誤りが定番。係数の比が答えになるのは分子と分母の次数が等しいときだけである。また、割り算の形にする前に元の関数の極限（どちらも0）を先に取ってしまうと 0/0 になって判断できなくなるので、先に式を整理する。

極限（関数の極限）と関連する用語

• 対数
• 数値積分
• 等差数列と等比数列
• フィボナッチ数列と再帰の重複計算

極限（関数の極限）が出た過去問

• a及びbを定数とする関数f(t)＝a/(t＋1)及びg(t)＝b/(t^2－t)に対して、lim[t→∞] g(t)/f(t) はどれか。ここで、a≠0、b≠0…

  正解：0

  要点：有理式の極限は分子と分母の次数の大小で決まる

  g(t)/f(t) を整理すると b(t+1) / { a(t^2 - t) } となる。分子は t の1次式、分母は t の2次式なので、分母のほうが速く増大し、t を無限大にすると比は 0 に収束する。実際に分母分子を t^2 で割ると、分子は b/t + b/t^2 → 0、分母は a - a/t → a となり、極限は 0/a = 0 である。

  出典：令和1年度 秋期 基本情報技術者試験 午前 問4（IPA）