正規分布とは？

正規分布の意味

平均を中心に左右対称の釣鐘型をとる連続分布。平均が山の位置、標準偏差が山の広がりを決める。平均±1σにおよそ68％、±2σにおよそ95％のデータが含まれる。

正規分布の具体例

平均60点・標準偏差10点のテストで80点なら標準化値z＝(80−60)/10＝2。上位約2.3％に入る。

正規分布は試験でどう引っ掛けられる？

「上位何％か」を比較する問題では、平均や標準偏差の絶対値ではなく標準化値zの大小で判断する。

正規分布と関連する用語

• 標準偏差
• 相関係数

正規分布が出た過去問

• 受験者1,000人の4教科のテスト結果は表のとおりであり、いずれの教科の得点分布も正規分布に従っていたとする。90点以上の得点者が最も多かったと推定できる教科は…

  正解：B

  要点：正規分布の上位割合は標準化値zの小ささで決まる

  正規分布では、ある得点以上の割合は標準化した値 z=(得点-平均点)/標準偏差 の大小だけで決まり、zが小さいほど上位の人数が多くなる。90点についてzを求めるとAは(90-45)/18=2.5、Bは(90-60)/15=2.0、Cは(90-70)/8=2.5、Dは(90-75)/5=3.0となる。zが最も小さいのは教科Bなので、90点以上の得点者が最も多かったと推定できる。

  出典：平成30年度 秋期 高度共通_午前I試験 am1 問3（IPA）

• 平均が60、標準偏差が10の正規分布を表すグラフはどれか。

  正解：山が1つの左右対称な釣鐘型の曲線。頂点はx=60、点線でx=60とx=70の位置が示されている（すそが緩やかに広い）。

  要点：正規分布は平均が山の頂点、標準偏差が山の広がりを決める

  正規分布は平均を頂点とする左右対称の釣鐘型で、標準偏差が山の広がり（変曲点までの距離）を決める。平均60・標準偏差10なら頂点はx=60、山の広がりの目安は60±10となる。頂点が60で幅の目安が10であるアがこれに当たる。

  出典：令和5年度 春期 高度共通_午前I試験 am1 問2（IPA）