ポアソン分布とは？

ポアソン分布の意味

一定の時間や空間の中で、まれな事象が独立に発生する回数の分布。平均発生回数λだけで形が決まり、期待値も分散もλになる。到着件数や故障件数のように「回数を数える」現象のモデル化に用いられ、待ち行列の到着過程の前提としても使われる。

ポアソン分布の具体例

1時間に平均3件の障害連絡が入るサービスデスクで、1時間に6件以上来る確率を求めれば、要員を何名待機させるかの判断材料になる。ソフトウェアの単位規模あたりの欠陥件数の予測にも同じ考え方を使う。

ポアソン分布は試験でどう引っ掛けられる？

二項分布で試行回数が非常に多く発生確率が非常に小さいときの近似がポアソン分布である。両者の使い分けを問われたとき、「試行回数が与えられているか、平均発生回数だけが与えられているか」で見分けるとよい。

ポアソン分布と関連する用語

• 確率分布（正規分布・二項分布）
• 待ち行列理論（M/M/1モデル）
• 期待値と分散

ポアソン分布が出た過去問

• 多数のクライアントが，LANに接続された1台のプリンタを共同利用するときの印刷要求から印刷完了までの所要時間を，待ち行列理論を適用して見積もる場合について考える…

  正解：印刷の緊急性や印刷量の多少にかかわらず，先着順に印刷する。

  要点：M/M/1はポアソン到着・指数サービス・無限長FIFOが前提

  M/M/1モデルは、到着がポアソン分布、サービス時間が指数分布、窓口が1つ、待ち行列は無限長で先着順（FIFO）に処理される、という条件を前提とする。先着順に印刷するという運用はこのFIFOの前提に合致する。

  出典：平成28年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問3（IPA）

• コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒…

  正解：50

  要点：M/M/1の平均待ち時間はρ/(1−ρ)×平均サービス時間。

  M/M/1モデルでは、平均待ち時間（行列に並ぶ時間）は「利用率ρ÷(1−ρ)×平均サービス時間」で求まる。平均サービス時間がT秒なので、待ち時間がT秒以上になる条件はρ/(1−ρ)≧1、すなわちρ≧0.5である。よって利用率50％以上のときに平均待ち時間がT秒以上となる。

  出典：平成30年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）

• コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち、M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒…

  正解：50

  要点：M/M/1の平均待ち時間はρ/(1−ρ)×平均サービス時間

  M/M/1では平均待ち時間Wq＝ρ/(1−ρ)×Ts で表される。ここで平均サービス時間TsはT秒なので、Wq≧Tとなる条件はρ/(1−ρ)≧1、すなわちρ≧0.5である。したがって利用率が50％以上のときに平均待ち時間がT秒以上になる。

  出典：令和7年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）