対数と指数の応用とは？

対数と指数の応用の意味

掛け算を足し算に変える対数と、その逆演算である指数。応用情報では、計算量 O(log n) の意味、必要ビット数（log2 n）、SN比や音圧のdB表記、鍵長を1ビット増やすと総当たりが倍になる関係の理解に使う。

対数と指数の応用の具体例

1000万件を二分探索すると log2(10^7)≒24回で到達できる。鍵長128ビットの総当たりは2^128通りで、1ビット増えるごとに手間が倍になる。dBは電力比なら10log10で、3dBがおよそ2倍にあたる。

対数と指数の応用は試験でどう引っ掛けられる？

対数の底を取り違えると値がずれる（log2 10≒3.32）。計算量表記では底の違いは定数倍なので省略するが、必要ビット数を求める計算では必ず底2を使う。dBの10倍と20倍の使い分けも紛らわしい。

対数と指数の応用と関連する用語

• 数列と漸化式
• 計算量（オーダー記法）
• 通信路容量とシャノンの定理

対数と指数の応用が出た過去問

• 正の整数の10進表示の桁数Dと2進表示の桁数Bとの関係を表す式のうち、最も適切なものはどれか。

  正解：D≒B log₁₀ 2

  要点：10進桁数は2進桁数×log₁₀2（約0.3倍）になる

  2進表示でBビットの正の整数はおよそ2のB乗の大きさをもつ。その10進の桁数Dは常用対数をとって D≒log₁₀(2^B)=B・log₁₀2 となる。log₁₀2≒0.301なので、2進の桁数のおよそ0.3倍が10進の桁数という関係になる。

  出典：令和2年度 10月 応用情報技術者試験 午前 問1（IPA）