図のように3個の装置を並列と直列に組み合わせて構成したシステムがある。装置単体の稼働率と，システムの稼働率の関係を示したグラフはどれか。ここで，3個の装置の稼働率は，全て等しいものとする。

選択肢

• ア横軸「装置単体の稼働率」・縦軸「システムの稼働率」のグラフで、原点(0,0)から(1,1)へ上に凸に急増し、対角線（点線）より常に上側にある曲線。
• イ原点(0,0)から(1,1)への対角線そのもの（直線）。
• ウ原点(0,0)から(1,1)へ伸びるS字型の曲線で、(0.5,0.5)で対角線（点線）と交差し、0.5より左では対角線の下側、右では上側にある。
• エ原点(0,0)から(1,1)へ伸びるS字型の曲線で、対角線（点線）より常に下側を通る（装置単体の稼働率0.5でシステムの稼働率は0.3程度、0.65付近で0.5に達し、0.8以降は対角線にほぼ重なる）。

正解と解説

正解：エ 原点(0,0)から(1,1)へ伸びるS字型の曲線で、対角線（点線）より常に下側を通る（装置単体の稼働率0.5でシステムの稼働率は0.3程度、0.65付近で0.5に達し、0.8以降は対角線にほぼ重なる）。

2台並列の部分の稼働率は1-(1-a)^2、これに1台を直列につなぐので全体はa×(2a-a^2)＝2a^2-a^3となる。この値から装置単体の稼働率aを引くと-a(1-a)^2となり、0≦a≦1では常に0以下である。つまりシステムの稼働率は単体の稼働率を上回ることがなく、対角線の下側（両端でのみ一致）を通る曲線になる。

選択肢ごとの解説

• ア直列部分がボトルネックになるため、対角線より上に来ることはない。
• イ対角線と一致するのは装置1台だけの場合で、この構成には当てはまらない。
• ウ対角線と交差して上側に出る形は、2a^2-a^3≦aという関係と矛盾する。
• エ正解。2a^2-a^3は常にa以下で、対角線の下側を通る曲線になる。

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