命題論理と真理値表とは？

命題論理と真理値表の意味

「真」か「偽」のいずれかに定まる文（命題）を対象に、論理演算の組み合わせでできる複合命題の真偽を、すべての入力パターンについて一覧表にしたものが真理値表。論理式の等価性の確認や、論理回路の動作検証に使われる。

命題論理と真理値表の具体例

「A→B」（AならばB）という命題は、Aが偽のときは常に真になるという直感に反する性質があり、真理値表を書いて確認すると理解しやすい。

命題論理と真理値表は試験でどう引っ掛けられる？

「AならばB」はAが偽ならBの真偽に関わらず真になる。この行の見落としが定番の誤り。逆・裏・対偶のうち元の命題と必ず真偽が一致するのは対偶だけ。入力がn個なら真理値表の行数は2のn乗になる。

命題論理と真理値表と関連する用語

• ブール代数と論理式の簡略化

命題論理と真理値表が出た過去問

• 1桁の2進数A, Bを加算し、Xに桁上がり、Yに桁上げなしの和（和の1桁目）が得られる論理回路はどれか。

  正解：論理回路ア

  要点：半加算器は桁上げ＝AND、和＝XORで構成する

  1桁の2進数2つを加算する回路は半加算器であり、桁上げ（キャリー）Xは両方が1のときだけ1になるので論理積（AND）、桁上げなしの和Yは入力が異なるときだけ1になるので排他的論理和（XOR）で得られる。真理値表で確認すると、1+1＝10（X=1, Y=0）、1+0＝01（X=0, Y=1）、0+0＝00となり、この組合せが成り立つ。

  出典：平成30年度 秋期 高度共通_午前I試験 am1 問7（IPA）

• 真理値表に示す3入力多数決回路はどれか。 入力A,B,Cと出力Yの真理値表: (0,0,0)→0, (0,0,1)→0, (0,1,0)→0, (0,1,1)→…

  正解：A,B,CをそれぞれAND素子(AB, BC, CA)3個に入力し、その出力をOR素子でまとめてYとする回路

  要点：多数決回路はAB＋BC＋CAで実現する

  3入力多数決回路は、3入力のうち2つ以上が1のときに1を出力する。真理値表を論理式にするとY＝A・B＋B・C＋C・Aとなり、2入力のANDを3個（AB、BC、CA）作ってその出力をORでまとめる構成になる。

  出典：令和5年度 秋期 高度共通_午前I試験 am1 問7（IPA）