0≦x≦1の範囲で単調に増加する連続関数f(x)がf(0)<0≦f(1)を満たすときに、区間内でf(x)=0であるxの値を近似的に求めるアルゴリズムにおいて、(2)は何回実行されるか。 〔アルゴリズム〕 (1) x0←0, x1←1とする。 (2) x←(x0+x1)/2とする。 (3) x1-x<0.001ならばxの値を近似値として終了する。 (4) f(x)≧0ならばx1←xとして、そうでなければx0←xとする。 (5) (2)に戻る。

選択肢

• ア10
• イ20
• ウ100
• エ1,000

正解と解説

正解：ア 10

これは区間を半分ずつ狭める二分法である。(2)をk回目に実行した直後の区間の半分の幅はx1−x＝1/2のk乗となる。終了条件1/2のk乗＜0.001を満たす最小のkは、2の10乗＝1,024＞1,000より10である。したがって(2)は10回実行される。

選択肢ごとの解説

• ア正解。2の10乗＝1,024が1,000を超えるので、10回目で区間幅が0.001未満になる。
• イ20回では幅が約100万分の1まで縮み、終了条件を大きく満たしすぎている。10回で既に終了している。
• ウ区間幅を1/100ずつ減らすような線形の縮小を想定した値で、二分法の指数的な縮小と合わない。
• エ0.001の逆数をそのまま回数と考えた値で、1回ごとに半分になる性質を反映していない。

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