コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち、M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは、システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで、伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。 ・伝票データは、ポアソン分布に従って到着する。 ・伝票データをためる数に制限はない。 ・1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う。

選択肢

• ア33
• イ50
• ウ67
• エ80

正解と解説

正解：イ 50

M/M/1モデルの平均待ち時間Twは、利用率をρ、平均サービス時間をTsとすると Tw = ρ/(1-ρ) × Ts で表される。ここではTs=T秒なので、Tw≧T となる条件は ρ/(1-ρ) ≧ 1、すなわち ρ ≧ 1-ρ より ρ ≧ 0.5 である。したがって利用率が50%以上になったときに平均待ち時間がT秒以上となる。

選択肢ごとの解説

• アρ=0.33では ρ/(1-ρ)≒0.5 となり、平均待ち時間は約0.5T秒でT秒に届かない。
• イ正しい。ρ=0.5のとき ρ/(1-ρ)=1 となり、平均待ち時間がちょうど平均処理時間Tと等しくなる。
• ウρ=0.67では平均待ち時間は約2T秒となり条件は満たすが、「少なくとも何%以上」という最小値としては大きすぎる。
• エρ=0.8では平均待ち時間は4T秒となる。条件は満たすものの、境界値ではない。

この問題は2回出題されています

• 2018年度 秋期 問2（このページ）
• 2025年度 秋期 問1

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