ATM（現金自動預払機）が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。〔条件〕(1) 統合後の平均サービス時間：Ts (2) 統合前のATMの利用率：両支店ともρ (3) 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

• アρ/(1-ρ)×Ts
• イρ/(1-2ρ)×Ts
• ウ2ρ/(1-ρ)×Ts
• エ2ρ/(1-2ρ)×Ts

正解と解説

正解：エ 2ρ/(1-2ρ)×Ts

M/M/1では平均待ち時間 Wq = ρ/(1-ρ)×Ts で、ρは利用率。統合すると利用者数（到着率）が2倍になり、サービス時間Tsは変わらないので、統合後の利用率は 2ρ になる。これを式に代入すると 2ρ/(1-2ρ)×Ts が得られる。窓口を1つにまとめても、利用率が上がる分だけ待ち時間は増える点に注意する。

選択肢ごとの解説

• ア統合前の1台分の待ち時間の式であり、到着率が2倍になったことが反映されていない。
• イ分母だけを2ρとしており、分子の利用率も2ρになることを見落としている。
• ウ分子だけ2ρにしているが、分母の(1-ρ)も統合後の利用率2ρで置き換える必要がある。
• エ正しい。統合後の利用率が2ρとなるので、ρ/(1-ρ)×Tsのρを2ρに置き換えた式になる。

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