ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。 〔条件〕 (1) 統合後の平均サービス時間:Ts (2) 統合前のATMの利用率:両支店ともρ (3) 統合後の利用者数:統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

• アρ/(1-ρ)×Ts
• イρ/(1-2ρ)×Ts
• ウ2ρ/(1-ρ)×Ts
• エ2ρ/(1-2ρ)×Ts

正解と解説

正解：エ 2ρ/(1-2ρ)×Ts

M/M/1の平均待ち時間はWq = ρ/(1-ρ)×Ts（Tsは平均サービス時間、ρは利用率）である。利用率は到着率×平均サービス時間なので、2支店を統合して利用者数が2倍になると到着率が2倍になり、統合後の利用率は2ρとなる。これをそのまま式に代入して、2ρ/(1-2ρ)×Ts が答えになる。

選択肢ごとの解説

• ア統合前の1台分の利用率ρをそのまま使った式で、利用者数が2倍になる効果が反映されていない。
• イ分子だけρのままで、分母だけ2倍にしており、利用率の置き換えが一貫していない。
• ウ分子を2倍にしただけで分母のρが更新されておらず、公式への代入が不完全である。
• エ正しい。統合後の利用率2ρを Wq = ρ/(1-ρ)×Ts に代入した形で、2ρ/(1-2ρ)×Ts となる。

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