コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち、M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは、システムの利用率が少なくとも何％以上となったときか。ここで、伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。 ・伝票データは、ポアソン分布に従って到着する。 ・伝票データをためる数に制限はない。 ・1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う。

選択肢

• ア33
• イ50
• ウ67
• エ80

正解と解説

正解：イ 50

M/M/1では平均待ち時間Wq＝ρ/(1−ρ)×Ts で表される。ここで平均サービス時間TsはT秒なので、Wq≧Tとなる条件はρ/(1−ρ)≧1、すなわちρ≧0.5である。したがって利用率が50％以上のときに平均待ち時間がT秒以上になる。

選択肢ごとの解説

• ア利用率33％では待ち時間は約0.5T秒にとどまりT秒に届かない。
• イ正解。ρ/(1−ρ)＝1となるのがρ＝0.5で、ここが平均待ち時間がT秒に達する境界。
• ウ67％では待ち時間が約2T秒となり、境界としては大きすぎる。
• エ80％では約4T秒となり、T秒以上になる最小の利用率ではない。

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