aを正の整数とし、b=a^2とする。aを2進数で表現するとnビットであるとき、bを2進数で表現すると最大で何ビットになるか。

選択肢

• アn+1
• イ2n
• ウn^2
• エ2^n

正解と解説

正解：イ 2n

nビットで表せる正の整数aの最大値は 2^n − 1 なので、b = a^2 ≦ (2^n − 1)^2 < 2^(2n) となり、bは2n桁（2nビット）を超えません。実際 a = 2^n − 1 のとき b = 2^(2n) − 2^(n+1) + 1 で、これは 2^(2n−1) 以上なのでちょうど2nビットになります。したがって最大で2nビットです。

選択肢ごとの解説

• ア1ビットしか増えないのは2倍にしたとき。2乗ではビット数がほぼ倍になる。
• イ正しい。(2^n−1)^2 < 2^(2n) なので最大2nビット。
• ウ指数ではなくビット数そのものを2乗しており、n=1でも成立しない。
• エ2乗ではなく「2のn乗」なので桁数の増え方が過大。

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