稼働率がxである装置を四つ組み合わせて、図のようなシステムを作ったときの稼働率をf(x)とする。区間0≦x≦1におけるy=f(x)の傾向を表すグラフはどれか。ここで、破線はy=xのグラフである。

選択肢

• ア0から1にかけて上に凸に単調増加し、x=1でy=1に達する曲線（破線y=xより常に上側）
• イ0から1にかけて下に凸に単調増加し、x=1でy=1に達する曲線（破線y=xより常に下側）
• ウ0付近で破線より上、中間（x≒0.6）付近で破線と交差し、その後は下側を通り、x＝1付近で急に立ち上がって(1,1)に至る曲線
• エ0付近で破線より下、中間（x≒0.6）付近で破線と交差し、その後上側になるS字状の曲線

正解と解説

正解：エ 0付近で破線より下、中間（x≒0.6）付近で破線と交差し、その後上側になるS字状の曲線

上下2系統がそれぞれ2台直列で、その2系統が並列になっている。1系統の稼働率はx^2、システム全体はf(x)＝1−(1−x^2)^2＝2x^2−x^4となる。y＝xとの交点はx(x^3−2x+1)＝0を解いてx＝(√5−1)/2≒0.618とx＝1。したがってxが小さい領域ではy＝xより下、0.618を境に上へ移り、x＝1でy＝1に達するS字状の曲線になる。

選択肢ごとの解説

• ア区間全体でy＝xより上にある曲線であり、小さいxでf(x)がxを下回る事実と合わない。
• イ区間全体でy＝xより下にある曲線で、x＝0.618より右側で上回る性質を表せていない。
• ウ先に上、後で下という上下関係が実際と逆になっている。
• エ正解。小さいxでは下、x≒0.618で交差してその後は上、x＝1で1に達するS字状の傾向と一致する。

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