コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち、M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは、システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで、伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。 ・伝票データは、ポアソン分布に従って到着する。 ・伝票データをためる数に制限はない。 ・1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う。

選択肢

• ア33
• イ50
• ウ67
• エ80

正解と解説

正解：イ 50

M/M/1モデルでは、平均待ち時間Wqは平均サービス時間Tsに対してWq＝ρ/(1−ρ)×Tsで表される。本問はTs＝Tなので、Wq≧Tとなる条件はρ/(1−ρ)≧1、すなわちρ≧0.5である。したがって利用率が50%以上になると平均待ち時間が処理時間Tと同じ以上に膨らむ。

選択肢ごとの解説

• アρ＝0.33ではρ/(1−ρ)≒0.5となり、待ち時間は約0.5Tにとどまる。
• イ正解。ρ＝0.5でρ/(1−ρ)＝1となり、平均待ち時間がちょうどTに達する。
• ウρ＝0.67では待ち時間は約2Tとなり、T以上ではあるが「少なくとも何%以上」という下限としては大きすぎる。
• エρ＝0.8では待ち時間が約4Tになる。条件を満たす最小の利用率ではない。

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