二つの集合AとBについて、常に成立する関係を記述したものはどれか。ここで、（X∩Y）は、XとYの両方に属する部分（積集合）、（X∪Y）は、X又はYの少なくとも一方に属する部分（和集合）を表す。

選択肢

• ア（A∪B）は、（A∩B）でない集合の部分集合である。
• イ（A∪B）は、Aの部分集合である。
• ウ（A∩B）は、（A∪B）の部分集合である。
• エ（A∩B）は、Aでない集合の部分集合である。

正解と解説

正解：ウ （A∩B）は、（A∪B）の部分集合である。

積集合A∩Bは、AとBの両方に属する要素だけを集めたものなので、その要素はいずれもAまたはBの少なくとも一方に属している。したがってA∩Bは必ずA∪Bに含まれ、部分集合となる。逆にA∪BがAに含まれるとは限らず、また積集合が「Aでない集合」に含まれることもない。ベン図で重なり部分と全体を思い浮かべると確実である。

選択肢ごとの解説

• ア和集合には両方に属する部分も含まれるため、成り立たない。
• イA∪BにはBだけに属する要素も含まれるので、Aの部分集合とは限らない。
• ウ正解。両方に属する要素は当然どちらか一方には属するため、常に成り立つ。
• エA∩Bの要素はすべてAに属するので、Aでない集合に含まれることはない。

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