全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A̅∩B̅に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A̅はSにおけるAの補集合、A－BはAからBを除いた差集合を表す。

選択肢

• アA̅－B
• イ(A̅∪B̅)－(A∩B)
• ウ(S－A)∪(S－B)
• エS－(A∩B)

正解と解説

正解：ア A̅－B

Aの補集合とBの補集合の積集合は、ド・モルガンの法則よりA∪Bの補集合、すなわち「AにもBにも属さない要素の集合」である。一方、差集合A-Bは「Aに属しBに属さない要素」を表すので、A̅-BはAに属さずBにも属さない要素の集合となり、A̅∩B̅と一致する。

選択肢ごとの解説

• ア正しい。A̅-BはA̅に属しBに属さない要素の集合であり、A̅∩B̅と等しい。
• イA̅∪B̅はA∩Bの補集合であり、A∩Bとは互いに交わらないので差を取っても変わらず、A̅∪B̅のままである。
• ウ(S-A)∪(S-B)＝A̅∪B̅であり、これはA∩Bの補集合であって求める集合ではない。
• エS-(A∩B)もA∩Bの補集合すなわちA̅∪B̅であり、A̅∩B̅とは異なる。

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