ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。 〔条件〕 (1) 統合後の平均サービス時間:Ts (2) 統合前のATMの利用率:両支店ともρ (3) 統合後の利用者数:統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

• アρ/(1-ρ)×Ts
• イρ/(1-2ρ)×Ts
• ウ2ρ/(1-ρ)×Ts
• エ2ρ/(1-2ρ)×Ts

正解と解説

正解：エ 2ρ/(1-2ρ)×Ts

M/M/1モデルの平均待ち時間はρ/(1-ρ)×Tsで表される。2支店を統合すると利用者数（到着率）は合計されて2倍になり、サービス時間Tsは変わらないので、統合後の利用率は2ρとなる。これを式に代入して、平均待ち時間は2ρ/(1-2ρ)×Tsとなる。

選択肢ごとの解説

• アρ/(1-ρ)×Tsは統合前の1台あたりの待ち時間の式であり、利用者数の合算を反映していない。
• イ分母だけ2ρとして分子をρのままにしており、利用率の置き換えが一貫していない。
• ウ分子だけ2ρにして分母をρのままにしており、同じく置き換えが不完全。
• エ正解。統合後の利用率が2ρとなるので2ρ/(1-2ρ)×Tsとなる。

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