コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは，システムの利用率が少なくとも何％以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。 ・伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。 ・伝票データをためる数に制限はない。 ・1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う。

選択肢

• ア33
• イ50
• ウ67
• エ80

正解と解説

正解：イ 50

M/M/1モデルでは、平均待ち時間（行列に並ぶ時間）は「利用率ρ÷(1−ρ)×平均サービス時間」で求まる。平均サービス時間がT秒なので、待ち時間がT秒以上になる条件はρ/(1−ρ)≧1、すなわちρ≧0.5である。よって利用率50％以上のときに平均待ち時間がT秒以上となる。

選択肢ごとの解説

• ア33％ではρ/(1−ρ)が約0.5にしかならず、待ち時間はT秒に届かない。
• イ正しい。ρ=0.5でρ/(1−ρ)=1となり、平均待ち時間がちょうどT秒になる。
• ウ67％では待ち時間が約2T秒となり、条件を満たす最小の利用率ではない。
• エ80％では待ち時間が約4T秒となり、条件を満たす最小の利用率ではない。

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