全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はSにおけるAの補集合、A-BはAからBを除いた差集合を表す。

選択肢

• アA(バー)-B
• イ(A(バー)∪B(バー))-(A∩B)
• ウ(S-A)∪(S-B)
• エS-(A∩B)

正解と解説

正解：ア A(バー)-B

ド・モルガンの法則より、Aの補集合とBの補集合の積集合は、A∪Bの補集合、すなわちS-(A∪B)と等しくなります。一方、差集合A-BはA∩B(バー)と書き換えられるので、Ā-B は Ā∩B̄ そのものです。ベン図で「AにもBにも属さない領域」を塗ると確認できます。

選択肢ごとの解説

• ア正解。差集合の定義よりĀ-B=Ā∩B̄となり、求める領域と一致します。
• イド・モルガンで得られるのはA∩Bの補集合であり、両方に属さない領域より広くなります。
• ウこれは(Ā)∪(B̄)であり、A∩Bの補集合。どちらか一方にだけ属す部分も含んでしまいます。
• エA∩Bの補集合であり、Aだけに属す部分・Bだけに属す部分まで含んでしまいます。

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